426 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

Привет! Давай разберем, какие это треугольники.

Общие сведения о треугольниках:

• Сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.
• Треугольники бывают остроугольные (все углы меньше 90°), прямоугольные (один угол равен 90°) и тупоугольные (один угол больше 90°).

Задание а) Сумма любых двух углов больше 90°

Пусть углы треугольника будут $$\alpha, \beta, \gamma$$. По условию:

• $$\alpha + \beta > 90^{\circ}$$
• $$\alpha + \gamma > 90^{\circ}$$
• $$\beta + \gamma > 90^{\circ}$$

Мы знаем, что $$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$.

Из первого неравенства $$\alpha + \beta > 90^{\circ}$$, мы можем подставить это в сумму углов:

$$(\alpha + \beta) + \gamma = 180^{\circ}$$

$$180^{\circ} - \gamma > 90^{\circ}$$

$$180^{\circ} - 90^{\circ} > \gamma$$

$$90^{\circ} > \gamma$$

Значит, угол $$\gamma$$ меньше 90°.

Точно так же, из $$\alpha + \gamma > 90^{\circ}$$, мы получим $$180^{\circ} - \beta > 90^{\circ}$$, что означает $$\beta < 90^{\circ}$$.

И из $$\beta + \gamma > 90^{\circ}$$, мы получим $$180^{\circ} - \alpha > 90^{\circ}$$, что означает $$\alpha < 90^{\circ}$$.

Вывод для а):

Если сумма любых двух углов треугольника больше 90°, то это означает, что каждый из углов меньше 90°. Такой треугольник называется остроугольным.

Задание б) Каждый угол меньше суммы двух других углов

Пусть углы треугольника будут $$\alpha, \beta, \gamma$$. По условию:

• $$\alpha < \beta + \gamma$$
• $$\beta < \alpha + \gamma$$
• $$\gamma < \alpha + \beta$$

Вспомним, что $$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$.

Рассмотрим первое неравенство: $$\alpha < \beta + \gamma$$.

Заменим $$\beta + \gamma$$ на $$180^{\circ} - \alpha$$ (из суммы углов треугольника):

$$\alpha < 180^{\circ} - \alpha$$

$$\alpha + \alpha < 180^{\circ}$$

$$2\alpha < 180^{\circ}$$

$$\alpha < 90^{\circ}$$

Точно так же:

Из $$\beta < \alpha + \gamma$$, получим $$\beta < 180^{\circ} - \beta → 2\beta < 180^{\circ} → \beta < 90^{\circ}$$.

Из $$\gamma < \alpha + \beta$$, получим $$\gamma < 180^{\circ} - \gamma → 2\gamma < 180^{\circ} → \gamma < 90^{\circ}$$.

Вывод для б):

Условие, что каждый угол меньше суммы двух других углов, означает, что каждый угол меньше 90°. Следовательно, такой треугольник также является остроугольным.

Ответ:

а) Остроугольный треугольник.

б) Остроугольный треугольник.