401. Преобразуйте в многочлен выражение: 1) (a + 1)(a - 2) (а – 3); 2) (3a - 2)(a + 3) (a – 7); 3) (a²-2a+1)(a² + 3a – 2); 4) (a + 1)(a⁴ - a³ + a² − a + 1).

1. Раскроем скобки по порядку:

\( (a + 1)(a - 2)(a - 3) = (a^2 - 2a + a - 2)(a - 3) = (a^2 - a - 2)(a - 3) \)

\( = a^2(a - 3) - a(a - 3) - 2(a - 3) = a^3 - 3a^2 - a^2 + 3a - 2a + 6 = a^3 - 4a^2 + a + 6 \)

Ответ: \( a^3 - 4a^2 + a + 6 \)

2. Аналогично раскроем скобки:

\( (3a - 2)(a + 3)(a - 7) = (3a^2 + 9a - 2a - 6)(a - 7) = (3a^2 + 7a - 6)(a - 7) \)

\( = 3a^2(a - 7) + 7a(a - 7) - 6(a - 7) = 3a^3 - 21a^2 + 7a^2 - 49a - 6a + 42 \)

\( = 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42 \)

Ответ: \( 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42 \)

3. Заметим, что \( a^2 - 2a + 1 \) это квадрат разности: \( (a - 1)^2 \).

\( (a^2 - 2a + 1)(a^2 + 3a - 2) = (a - 1)^2 (a^2 + 3a - 2) \)

Раскроем скобки:

\( (a^2 - 2a + 1)(a^2 + 3a - 2) = a^2(a^2 + 3a - 2) - 2a(a^2 + 3a - 2) + 1(a^2 + 3a - 2) \)

\( = a^4 + 3a^3 - 2a^2 - 2a^3 - 6a^2 + 4a + a^2 + 3a - 2 \)

\( = a^4 + (3 - 2)a^3 + (-2 - 6 + 1)a^2 + (4 + 3)a - 2 \)

\( = a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2 \)

Ответ: \( a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2 \)

4. Это формула суммы кубов \( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1) \) или разности кубов \( a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) \).

Заметим, что \( a^4 - a^3 + a^2 - a + 1 \) похоже на часть формулы суммы пятой степени.

Формула суммы пятой степени:

\( a^5 + 1 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) \)

Следовательно, искомое выражение равно \( a^5 + 1 \).

Ответ: \( a^5 + 1 \)