Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть O — точка пересечения отрезков ВК и DM. Рассмотрим треугольник ABK и отрезок AO. В треугольнике ABK, M — середина AB, следовательно, BM — медиана. В треугольнике ADM, K — середина AD, следовательно, DK — медиана.
В параллелограмме ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке, которая делит их пополам. Обозначим эту точку как P.
Рассмотрим векторы. Пусть \( \vec{A} \) — начало координат. Тогда \( \vec{AB} = \mathbf{b} \), \( \vec{AD} = \mathbf{d} \).
Точка M — середина AB, так что \( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \mathbf{b} \).
Точка K — середина AD, так что \( \vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \mathbf{d} \).
Уравнение прямой BK: \( \vec{r} = \vec{AB} + t \cdot \vec{BK} = \mathbf{b} + t \cdot (\vec{AK} - \vec{AB}) = \mathbf{b} + t \cdot (\frac{1}{2} \mathbf{d} - \mathbf{b}) \) для \( t \in \mathbb{R} \).
Уравнение прямой DM: \( \vec{r} = \vec{AD} + s \cdot \vec{DM} = \mathbf{d} + s \cdot (\vec{AM} - \vec{AD}) = \mathbf{d} + s \cdot (\frac{1}{2} \mathbf{b} - \mathbf{d}) \) для \( s \in \mathbb{R} \).
Точка пересечения O имеет координаты, удовлетворяющие обоим уравнениям:
\( \mathbf{b} + t \cdot (\frac{1}{2} \mathbf{d} - \mathbf{b}) = \mathbf{d} + s \cdot (\frac{1}{2} \mathbf{b} - \mathbf{d}) \)
\( \mathbf{b} (1 - t) + \mathbf{d} \frac{t}{2} = \mathbf{d} (1 - s) + \mathbf{b} \frac{s}{2} \)
Приравниваем коэффициенты при \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{d} \):
\( 1 - t = \frac{s}{2} \)
\( \frac{t}{2} = 1 - s \)
Из второго уравнения: \( t = 2(1 - s) = 2 - 2s \).
Подставляем в первое уравнение:
\( 1 - (2 - 2s) = \frac{s}{2} \)
\( 1 - 2 + 2s = \frac{s}{2} \)
\( -1 + 2s = \frac{s}{2} \)
\( 2s - \frac{s}{2} = 1 \)
\( \frac{4s - s}{2} = 1 \)
\( \frac{3s}{2} = 1 \)
\( s = \frac{2}{3} \).
Найдём \( t \):
\( t = 2 - 2s = 2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3} \).
Теперь найдём положение точки O:
\( \vec{AO} = \vec{AB} + t \cdot (\vec{AK} - \vec{AB}) = \mathbf{b} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2} \mathbf{d} - \mathbf{b}) = \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{d} - \frac{2}{3} \mathbf{b} = \frac{1}{3} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{d} \)
\( \vec{AO} = \frac{1}{3} (\mathbf{b} + \mathbf{d}) \).
Уравнение диагонали AC:
\( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \mathbf{b} + \mathbf{d} \).
Любая точка на диагонали AC может быть представлена в виде \( \vec{r} = k \cdot \vec{AC} = k \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{d}) \) для \( k \in \mathbb{R} \).
Так как \( \vec{AO} = \frac{1}{3} (\mathbf{b} + \mathbf{d}) \), то \( \vec{AO} = \frac{1}{3} \vec{AC} \). Это означает, что точка O лежит на диагонали AC и делит ее в отношении 1:2.
Доказано.
