4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол BMC = 140°.

Решение:

Давай разберемся с этой задачей по шагам.

1. Что нам дано?
   У нас есть равнобедренный треугольник АВС. Высоты, опущенные на боковые стороны АВ и АС, пересекаются в точке М. Угол BMC равен 140°.
2. Что нужно найти?
   Нам нужно найти углы треугольника АВС (то есть углы при вершинах A, B и C).
3. Ключевая информация:
   
   • Треугольник равнобедренный, значит, углы при основании равны: ∠B = ∠C.
   • Высоты проведены к боковым сторонам. Обозначим точки их пересечения со сторонами как BD и CE (где D на АС, E на АВ).
   • BD ⊥ AC и CE ⊥ AB.
   • Точка пересечения высот — M.
   • ∠BMC = 140°.
4. Рассмотрим четырехугольник ADME.
   
   • ∠ADB = 90° (так как BD — высота).
   • ∠AEC = 90° (так как CE — высота).
   • Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
   • Поэтому, ∠DAE + ∠ADB + ∠AEC + ∠DME = 360°.
     ∠A + 90° + 90° + ∠DME = 360°.
     ∠A + ∠DME = 180°.
5. Найдем угол DME.
   ∠DME и ∠BMC — вертикальные углы (или смежные, если рассматривать с другой стороны), поэтому они равны. Либо, если M лежит внутри треугольника, то ∠DME = ∠A. Давайте найдем ∠A.
6. Используем угол BMC = 140°.
   Рассмотрим △ BMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   ∠MBC + ∠MCB + ∠BMC = 180°.
   ∠MBC + ∠MCB + 140° = 180°.
   ∠MBC + ∠MCB = 40°.
7. Свяжем углы треугольника АВС с углами △ BMC.
   В △ ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
   Поскольку ∠B = ∠C, то ∠A + 2∠B = 180°.
   В △ BMC: ∠MBC = ∠B - ∠EBC (где CE ⊥ AB) и ∠MCB = ∠C - ∠DCB (где BD ⊥ AC).
   Но нам проще использовать тот факт, что ∠MBC = ∠B - ∠EBC. Угол ∠EBC — это угол, смежный с углом ∠ABC. Нет, это не так. ∠EBC — это часть угла B.
   Важно: ∠EBC = 90° - ∠A (из △ ABE, где ∠AEB = 90°).
   И ∠DCB = 90° - ∠A (из △ ACD, где ∠ADC = 90°).
   Следовательно, ∠MBC = ∠B - (90° - ∠A) = ∠B + ∠A - 90°.
   И ∠MCB = ∠C - (90° - ∠A) = ∠C + ∠A - 90°.
   Так как ∠B = ∠C, то ∠MBC = ∠MCB.
8. Подставляем в ∠MBC + ∠MCB = 40°:
   2 * (∠B + ∠A - 90°) = 40°.
   ∠B + ∠A - 90° = 20°.
   ∠B + ∠A = 110°.
9. Теперь используем тот факт, что ∠A + ∠B + ∠C = 180° и ∠B = ∠C:
   ∠A + 2∠B = 180°.
10. У нас есть система уравнений:
    
    1. ∠A + ∠B = 110°
    2. ∠A + 2∠B = 180°
11. Решаем систему:
    Вычтем из второго уравнения первое:
    (∠A + 2∠B) - (∠A + ∠B) = 180° - 110°.
    ∠B = 70°.
12. Так как ∠B = ∠C, то ∠C = 70°.
13. Найдем ∠A, подставив ∠B в первое уравнение:
    ∠A + 70° = 110°.
    ∠A = 40°.
14. Проверка: ∠A + ∠B + ∠C = 40° + 70° + 70° = 180°. Все верно.

Ответ: Углы треугольника АВС равны 40°, 70°, 70°.