4. Выполните действия: a) 3(1 + 2xy)(1 – 2xy); б) (x² - y³)²; в) (a + b)² - (a - b)².

Решение:

• a) 3(1 + 2xy)(1 – 2xy)
• Сначала применим формулу разности квадратов \( (m-n)(m+n) = m^2 - n^2 \) к выражению \( (1 + 2xy)(1 – 2xy) \), где \( m=1 \) и \( n=2xy \).
• \( (1 + 2xy)(1 – 2xy) = 1^2 - (2xy)^2 = 1 - 4x^2y^2 \).
• Теперь умножим результат на 3:
• \( 3(1 - 4x^2y^2) = 3 - 12x^2y^2 \).
• б) (x² - y³)²
• Применим формулу квадрата разности \( (m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 \), где \( m = x^2 \) и \( n = y^3 \).
• \( (x^2 - y^3)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot y^3 + (y^3)^2 \)
• \( = x^4 - 2x^2y^3 + y^6 \).
• в) (a + b)² - (a - b)²
• Применим формулу разности квадратов \( m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) \), где \( m = (a+b) \) и \( n = (a-b) \).
• \( m-n = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b \).
• \( m+n = (a+b) + (a-b) = a+b+a-b = 2a \).
• \( (a + b)^2 - (a - b)^2 = (2b)(2a) = 4ab \).

Ответ: а) \( 3 - 12x^2y^2 \); б) \( x^4 - 2x^2y^3 + y^6 \); в) \( 4ab \).