4. Вычислите: a) 6^15 * 6^11 / 6^24 б) 5^3 * 5^16 / 9 * 225^7

Решение:

1. а) Вычисление:
   

   \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)

   
   

   Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и деления \( a^m / a^n = a^{m-n} \).

   
   

   \( \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 \)

   
   

   \( 6^2 = 36 \)

   
   


2. б) Вычисление:
   

   \( \frac{5^3 \cdot 5^{16}}{9 \cdot 225^7} \)

   
   

   Сначала упростим знаменатель. Заметим, что \( 225 = 15^2 \) и \( 15 = 3 \cdot 5 \). Значит, \( 225 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).

   
   

   \( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^2 \cdot (3^{14} \cdot 5^{14}) = 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \)

   
   

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   
   

   \( \frac{5^3 \cdot 5^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{3+16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{19}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)

   
   

   Сократим степени с основанием 5:

   
   

   \( \frac{5^{19-14}}{3^{16}} = \frac{5^5}{3^{16}} \)

   
   

   \( 5^5 = 3125 \)

   
   

   \( 3^{16} = 43046721 \)

   
   

   \( \frac{3125}{43046721} \)

   
   

Ответ: а) 36; б) \( \frac{3125}{43046721} \).