Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Центральный угол \( \angle AOB = 80^{\circ} \) опирается на дугу АВ. Значит, градусная мера дуги АВ равна \( 80^{\circ} \).
Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на дугу АВ. Следовательно, \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
Пусть \( AC = 2x \) и \( BC = 3x \).
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Пусть \( \stackrel{\frown}{BC} \) — дуга, на которую опирается угол \( \angle BAC \), и \( \stackrel{\frown}{AC} \) — дуга, на которую опирается угол \( \angle ABC \).
Длина хорды пропорциональна синусу противолежащего вписанного угла:
\( AC = 2R \sin(\angle ABC) \)
\( BC = 2R \sin(\angle BAC) \)
Из условия \( AC:BC = 2:3 \) следует:
\( \frac{AC}{BC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{2R \sin(\angle ABC)}{2R \sin(\angle BAC)} = \frac{\sin(\angle ABC)}{\sin(\angle BAC)} = \frac{2}{3} \)
\( 3 \sin(\angle ABC) = 2 \sin(\angle BAC) \)
В треугольнике ABC сумма углов равна \( 180^{\circ} \):
\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)
\( \angle BAC + \angle ABC + 40^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \angle BAC + \angle ABC = 140^{\circ} \)
\( \angle BAC = 140^{\circ} - \angle ABC \)
Подставим в уравнение:
\( 3 \sin(\angle ABC) = 2 \sin(140^{\circ} - \angle ABC) \)
\( 3 \sin(\angle ABC) = 2 (\sin(140^{\circ}) \cos(\angle ABC) - \cos(140^{\circ}) \sin(\angle ABC)) \)
\( \sin(140^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin(40^{\circ}) \approx 0.6428 \)
\( \cos(140^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 40^{\circ}) = -\cos(40^{\circ}) \approx -0.7660 \)
\( 3 \sin(\angle ABC) = 2 (0.6428 \cos(\angle ABC) - (-0.7660) \sin(\angle ABC)) \)
\( 3 \sin(\angle ABC) = 1.2856 \cos(\angle ABC) + 1.5320 \sin(\angle ABC) \)
\( 3 \sin(\angle ABC) - 1.5320 \sin(\angle ABC) = 1.2856 \cos(\angle ABC) \)
\( 1.4680 \sin(\angle ABC) = 1.2856 \cos(\angle ABC) \)
\( \frac{\sin(\angle ABC)}{\cos(\angle ABC)} = \frac{1.2856}{1.4680} \)
\( \tan(\angle ABC) \approx 0.8757 \)
\( \angle ABC \approx \arctan(0.8757) \approx 41.19^{\circ} \approx 41^{\circ} \)
\( \angle BAC = 140^{\circ} - \angle ABC \approx 140^{\circ} - 41.19^{\circ} \approx 98.81^{\circ} \approx 99^{\circ} \)
Ответ: \( \angle ACB = 40^{\circ} \), \( \angle ABC \approx 41^{\circ} \), \( \angle BAC \approx 99^{\circ} \).
