4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12, tgA=. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), нам дано:

• AC = 12
• \( \text{tg}A = \frac{2\sqrt{10}}{3} \)

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\( \text{tg}A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BC}{12} \)

Найдем длину катета BC:

\( BC = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10} \)

Теперь найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 \)

\( AB^2 = 144 + 64 \cdot 10 \)

\( AB^2 = 144 + 640 \)

\( AB^2 = 784 \)

\( AB = \sqrt{784} \)

\( AB = 28 \)

Ответ: 28