№4. В треугольнике АВС проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Найти АК : КС, если ВК = 4 и АС = 6.

Так как KN — серединный перпендикуляр к BC, то любая точка на KN равноудалена от B и C. Следовательно, AB = AC. Так как AC = 6, то AB = 6. В треугольнике ABC, AB = 6, AC = 6, BC = BK + KC = 4 + KC. По условию KN — серединный перпендикуляр к BC, значит, K — середина BC. Следовательно, BK = KC = 4. Тогда BC = 8. В треугольнике ABC, AB = 6, AC = 6, BC = 8. AK — медиана. По теореме о медиане: AK^2 = (2*AB^2 + 2*AC^2 - BC^2) / 4 = (2*36 + 2*36 - 64) / 4 = (72 + 72 - 64) / 4 = 80 / 4 = 20. AK = sqrt(20) = 2*sqrt(5). KC = 4. АК : КС = 2*sqrt(5) : 4 = sqrt(5) : 2.