4) В треугольнике АВС проведена биссектриса AL. Угол АВС равен 100°, угол ALC равен 135°. Найдите угол ВАС.

Решение:

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Дано:

• \( \angle ABC = 100^{\circ} \)
• \( \angle ALC = 135^{\circ} \)

Найти:

• \( \angle BAC \)

1. Найдем \( \angle ALB \)

Углы \( \angle ALC \) и \( \angle ALB \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle ALB = 180^{\circ} - \angle ALC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \]

2. Найдем \( \angle BAL \) в треугольнике ALB

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle BAL = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ALB = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ} \]

3. Найдем \( \angle BAC \)

AL — биссектриса угла A, значит, она делит угол \( \angle BAC \) пополам.

\[ \angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ} \]

Ответ: \( \angle BAC = 70^{\circ} \).