4. В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках M и N. Найдите угол ANB, если ∠AMC = 120°.

Так как точки A, M и N лежат на биссектрисе угла BAC, лучи AM и AN совпадают. Поэтому угол между AM и MC равен углу между AN и NB с учётом того, что в ромбе диагональ BD является биссектрисой угла B.

Пусть \(\angle BAC=2\alpha\). Тогда \(\angle BAM=\angle MAC=\alpha\). В треугольнике AMC угол при M равен \(120^\circ\), следовательно, угол между AM и MC равен \(120^\circ\). Поскольку \(MC\) лежит на стороне \(BC\), получаем \(\angle(AM,BC)=120^\circ\). Значит, острый угол между прямыми \(AM\) и \(BC\) равен \(60^\circ\), то есть \(\alpha=60^\circ\).

В ромбе диагональ \(BD\) биссектрисса угла \(ABC\), поэтому угол между \(BN\) и \(BC\) равен \(\frac{1}{2}\angle ABC\). Так как соседние углы ромба дополнительны, \(\angle ABC=180^\circ-\angle A=180^\circ-2\alpha=60^\circ\). Следовательно, \(\angle CBN=30^\circ\).

Тогда угол между \(AN\) и \(BN\) равен \(180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\).

Ответ: \(\angle ANB=30^\circ\).