4. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите острый угол между ними.

Решение:

В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами. Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов.

Рассмотрим две медианы, проведенные из вершин A и B к сторонам BC и AC соответственно. Они пересекаются в точке O, центре треугольника.

Угол при вершине треугольника, из которой выходит медиана, делится медианой пополам. Следовательно, угол между медианами, исходящими из вершин A и B, будет половиной угла A и половиной угла B. То есть, \( \angle OAB = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \) и \( \angle OBA = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle OAB \) сумма углов равна 180 градусов:

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \)

Угол \( \angle AOB \) — это угол между медианами. Он тупой.

Острый угол между медианами — это смежный угол:

\( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

Ответ: 60 градусов.