4. В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом 120°. Сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Найти диагональ прямоугольника.

Решение:

Пусть \( d \) — диагональ прямоугольника, \( a \) — большая сторона, \( b \) — меньшая сторона. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями равен \( 120^{\circ} \). Угол между соседними диагоналями равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и меньшей стороной. Это равнобедренный треугольник с углами \( 60^{\circ} \) и \( (180-120)/2 = 30^{\circ} \) или равносторонний, если угол \( 120^{\circ} \) внешний. Угол \( 120^{\circ} \) между диагоналями означает, что тупой угол между диагоналями равен \( 120^{\circ} \), а острый — \( 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю \( d \) и сторонами \( a \) и \( b \). По теореме косинусов: \( d^2 = a^2 + b^2 \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей \( d/2 \) и меньшей стороной \( b \). Угол между половинами диагоналей, противолежащий стороне \( b \), равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

По теореме косинусов для этого треугольника: \( b^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2) \cos(60^{\circ}) \)

\( b^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{d^2}{4} - 2 \frac{d^2}{4} \cdot \frac{1}{2} \) \( b^2 = \frac{d^2}{2} - \frac{d^2}{4} = \frac{d^2}{4} \) \( b = \frac{d}{2} \).

Из условия задачи: сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. \( d + b = 36 \).

Подставим \( b = d/2 \) в уравнение: \( d + \frac{d}{2} = 36 \) \( \frac{3d}{2} = 36 \) \( d = 36 \cdot \frac{2}{3} = 24 \).

Диагональ прямоугольника равна 24.

Ответ: 24