4. В параллелограмме ABCD проведён отрезок АЕ (точка Е лежит на стороне ВС). Известно, что угол EAD равен 55°, а DC = ВЕ. Найдите углы параллелограмма.

Дано:

ABCD — параллелограмм.

$$AE$$ — отрезок, $$E \in BC$$.

$$\angle EAD = 55°$$.

$$DC = BE$$.

Найти:

Углы параллелограмма ABCD.

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: $$AB ∥ DC$$, $$AD ∥ BC$$. Также $$AB = DC$$ и $$AD = BC$$.

2. По условию $$DC = BE$$. Так как $$AB = DC$$, то $$AB = BE$$.

3. Точка $$E$$ лежит на стороне $$BC$$. Следовательно, $$BC = BE + EC$$.

4. Так как $$AD = BC$$ и $$AB = BE$$, то $$AD = BE + EC$$.

5. $$AD = AB + EC$$.

6. Так как $$AD ∥ BC$$, то $$\angle DAE = \angle AEB$$ (как накрест лежащие углы при секущей $$AE$$).

7. Так как $$AB ∥ DC$$, то $$\angle BAE = \angle AEC$$ (как накрест лежащие углы при секущей $$AE$$).

8. Рассмотрим $$\triangle ABE$$. Так как $$AB = BE$$, то $$\triangle ABE$$ — равнобедренный. Следовательно, $$\angle BAE = \angle BEA$$.

9. Мы знаем, что $$\angle BAE = \angle BEA$$ и $$\angle DAE = \angle AEB$$. Отсюда следует, что $$\angle BAE = \angle BEA = \angle AEB = \angle DAE = 55°$$.

10. Угол $$\angle DAB$$ параллелограмма равен сумме углов $$\angle DAE$$ и $$\angle EAB$$.

$$\angle DAB = \angle DAE + \angle EAB = 55° + 55° = 110°$$

11. Угол $$\angle DAB$$ — тупой угол параллелограмма. Его величина равна 110°.

12. Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают 180°. Поэтому, острый угол $$\angle ABC$$ (или $$\angle ADC$$) равен:

$$\angle ABC = 180° - \angle DAB = 180° - 110° = 70°$$

13. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит $$\angle BCD = \angle DAB = 110°$$ и $$\angle ADC = \angle ABC = 70°$$.

Ответ: 110°, 70°, 110°, 70°