4. В окружности с центром в точке О проведены диаметры BD и АС. Параллельны ли прямые AD и ВС?

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \). \( BD \) и \( AC \) — диаметры.

Доказать: Параллельны ли \( AD \) и \( BC \)?

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle AOD \) и \( \triangle BOC \).

1. \( AO = OC \), так как \( AC \) — диаметр и \( O \) — центр окружности.
2. \( DO = OB \), так как \( BD \) — диаметр и \( O \) — центр окружности.
3. \( \angle AOD = \angle BOC \) — как вертикальные углы.

По двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников) \( \triangle AOD = \triangle BOC \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

• \( \angle DAO = \angle BCO \).

Углы \( \angle DAO \) и \( \angle BCO \) являются накрест лежащими углами при прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \).

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( AD \) и \( BC \) параллельны.

Ответ: Да, прямые AD и BC параллельны.