4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков каждой хорды равны: \( AK · KB = CK · KD \).
2. Подставим известные значения: \( 8 · KB = 6 · KD \).
3. Выразим \( KB \) через \( KD \): \( KB = \frac{6 · KD}{8} = \frac{3}{4} KD \).
4. Нам дано, что \( KB + KD = 28 \) см.
5. Подставим выражение для \( KB \) в это уравнение: \( \frac{3}{4} KD + KD = 28 \).
6. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{3}{4} KD + \frac{4}{4} KD = 28 \).
7. \( \frac{7}{4} KD = 28 \).
8. Найдем \( KD \): \( KD = 28 · \frac{4}{7} = 4 · 4 = 16 \) см.
9. Теперь найдем \( KB \): \( KB = 28 - KD = 28 - 16 = 12 \) см.
10. Проверим равенство произведений: \( AK · KB = 8 · 12 = 96 \). \( CK · KD = 6 · 16 = 96 \). Равенство выполняется.

Ответ: ВК = 12 см, DK = 16 см.