4. Упростите выражение: \( \frac{a^{-8} \cdot (a^4)^2}{a^{-6}} \).

Решение:

1. Используем свойство степеней (a^m)^n = a^{m \(\cdot\) n}: (a^4)^2 = a^{4 \(\cdot\) 2} = a^8.
2. Подставим полученное выражение в числитель: a^{-8} \(\cdot\) a^8.
3. Используем свойство степеней a^m \(\cdot\) a^n = a^{m+n}: a^{-8} \(\cdot\) a^8 = a^{-8+8} = a^0.
4. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1: a^0 = 1.
5. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{1}{a^{-6}} \).
6. Используем свойство степеней \(\frac{1}{a^{-n}}\) = a^n: \(\frac{1}{a^{-6}}\) = a^6.

Ответ: a⁶.