4. Упростите выражение $$ \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x} $$

Решение:

Для упрощения выражения приведём все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
2. Общий знаменатель для дробей \( \frac{3}{x-3} \), \( \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} \) и \( \frac{2}{x} \) будет \( x(x-3)(x+3) \).
3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю:
   • Первая дробь: \( \frac{3}{x-3} = \frac{3 \cdot x(x+3)}{(x-3) \cdot x(x+3)} = \frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2 + 9x}{x(x^2-9)} \)
   • Вторая дробь: \( \frac{x+15}{x^2-9} = \frac{(x+15) \cdot x}{(x^2-9) \cdot x} = \frac{x^2 + 15x}{x(x^2-9)} \)
   • Третья дробь: \( \frac{2}{x} = \frac{2 \cdot (x-3)(x+3)}{x \cdot (x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2-9)}{x(x^2-9)} = \frac{2x^2 - 18}{x(x^2-9)} \)
4. Теперь вычтем дроби:

\[ \frac{3x^2 + 9x}{x(x^2-9)} - \frac{x^2 + 15x}{x(x^2-9)} - \frac{2x^2 - 18}{x(x^2-9)} = \frac{(3x^2 + 9x) - (x^2 + 15x) - (2x^2 - 18)}{x(x^2-9)} \]

\[ = \frac{3x^2 + 9x - x^2 - 15x - 2x^2 + 18}{x(x^2-9)} \]

\[ = \frac{(3x^2 - x^2 - 2x^2) + (9x - 15x) + 18}{x(x^2-9)} \]

\[ = \frac{0x^2 - 6x + 18}{x(x^2-9)} = \frac{-6x + 18}{x(x^2-9)} \]

Вынесем общий множитель \( -6 \) из числителя:

\[ = \frac{-6(x - 3)}{x(x^2-9)} \]

Учитывая, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \), получим:

\[ = \frac{-6(x - 3)}{x(x-3)(x+3)} \]

Сократим \( (x-3) \), если \( x \neq 3 \):

\[ = \frac{-6}{x(x+3)} \]

Таким образом, выражение упрощено.

Ответ: \( \frac{-6}{x(x+3)} \).