4. Туристы отправились в трехдневный поход. В первый день они прошли 5/12 всего пути, во второй день 4/7 оставшегося после первого дня пути, а в третий день они прошли остальные 10 1/2 км. Сколько километров прошли туристы за эти три дня?

Решение:

1. Найдем, какую часть пути прошли туристы за первые два дня. Сначала найдем, сколько пути осталось после первого дня: \[ 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \] пути.
2. Во второй день они прошли \( \frac{4}{7} \) оставшегося пути, то есть: \[ \frac{7}{12} \times \frac{4}{7} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] пути.
3. За первые два дня туристы прошли: \[ \frac{5}{12} + \frac{1}{3} = \frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] пути.
4. Третий день — это оставшаяся часть пути: \[ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] пути.
5. Известно, что в третий день туристы прошли \( 10\frac{1}{2} \) км. Значит, \( \frac{1}{4} \) всего пути составляет \( 10\frac{1}{2} \) км.
6. Переведем смешанное число в неправильную дробь: \( 10\frac{1}{2} = \frac{10 \times 2 + 1}{2} = \frac{21}{2} \) км.
7. Теперь найдем весь путь. Если \( \frac{1}{4} \) пути — это \( \frac{21}{2} \) км, то весь путь (\( \frac{4}{4} \)) равен: \[ \frac{21}{2} \times 4 = \frac{21 \times 4}{2} = 21 \times 2 = 42 \] км.

Ответ: 42 км.