4. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ, АМ – диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

Решение:

Пусть градусная мера дуги АМВ равна \( x \) градусов. Тогда градусная мера дуги АСВ равна \( x - 60^{\circ} \).

Сумма градусных мер дуг, на которые точки делят окружность, равна 360°:

\( x + (x - 60^{\circ}) = 360^{\circ} \)

\( 2x - 60^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( 2x = 420^{\circ} \)

\( x = 210^{\circ} \)

Таким образом, градусная мера дуги АМВ равна 210°, а дуги АСВ равна \( 210^{\circ} - 60^{\circ} = 150^{\circ} \).

1. Найдем угол АМВ.

Угол АМВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АСВ. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\( ∠AMB = \frac{1}{2} \text{arc}(ACB) = \frac{1}{2} \times 150^{\circ} = 75^{\circ} \).

2. Найдем угол АВМ.

АМ — диаметр окружности. Угол АВМ — вписанный угол, опирающийся на полуокружность (дугу АМ). Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

\( ∠ABM = 90^{\circ} \).

3. Найдем угол АСВ.

Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АМВ. Градусная мера дуги АМВ равна 210°.

\( ∠ACB = \frac{1}{2} \text{arc}(AMB) = \frac{1}{2} \times 210^{\circ} = 105^{\circ} \).

Дополнительная проверка:

Рассмотрим треугольник АВМ. У нас есть:

\( ∠AMB = 75^{\circ} \)

\( ∠ABM = 90^{\circ} \)

Сумма углов в треугольнике АВМ:

\( ∠MAB + ∠AMB + ∠ABM = 180^{\circ} \)

\( ∠MAB + 75^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠MAB + 165^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠MAB = 15^{\circ} \).

Угол АСВ = 105°.

Ответ: ∠AMB = 75°, ∠ABM = 90°, ∠ACB = 105°.