4. Тело без начальной скорости падает с высоты Н = 20 м. Определите скорость тела на высоте h = 15 м. Сопротивлением движению пренебречь. Коэффициент g принять равным 10 Н/кг.

Задание 4. Скорость падающего тела

Дано:

• Начальная высота: \( H = 20 \) м.
• Высота, на которой ищем скорость: \( h = 15 \) м.
• Начальная скорость: \( v_0 = 0 \) (тело падает без начальной скорости).
• Ускорение свободного падения: \( g = 10 \) Н/кг.

Найти: скорость \( v \) на высоте \( h \).

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начале падения (на высоте H) тело обладает только потенциальной энергией. В процессе падения потенциальная энергия переходит в кинетическую. На высоте h тело обладает и потенциальной, и кинетической энергией.

1. Начальная энергия (на высоте H, \( v_0 = 0 \)): \[ E_{H} = E_{p, H} + E_{k, H} = m \cdot g \cdot H + \frac{1}{2} m v_0^2 = m \cdot g \cdot H \]
2. Энергия на высоте h: \[ E_{h} = E_{p, h} + E_{k, h} = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} m v^2 \]
3. По закону сохранения энергии: \( E_{H} = E_{h} \)
4. \( m \cdot g \cdot H = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} m v^2 \)
5. Сократим массу \( m \) (так как она есть в каждом члене уравнения): \( g \cdot H = g \cdot h + \frac{1}{2} v^2 \)
6. Выразим \( v^2 \): \( \frac{1}{2} v^2 = g \cdot H - g \cdot h \)
7. \( \frac{1}{2} v^2 = g (H - h) \)
8. \( v^2 = 2 g (H - h) \)
9. \( v = \sqrt{2 g (H - h)} \)
10. Подставим значения: \( v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (20 \text{ м} - 15 \text{ м})} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{кг}}} \)
11. Учитывая, что 1 Н·м = 1 Дж, а 1 Дж = 1 кг·м²/с², то \( \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{кг}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2 / \text{с}^2}{\text{кг}} = \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} \).
12. \( v = \sqrt{100 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 10 \) м/с.

Ответ: Скорость тела на высоте 15 м равна 10 м/с.