4. Среднее арифметическое двух чисел равно 2 \( \frac{11}{12} \). Первое число в \( 1 \frac{1}{3} \) раза меньше второго. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число — \( x \), а второе число — \( y \).

По условию, среднее арифметическое двух чисел равно \( 2 \frac{11}{12} \). Это значит:

\[ \frac{x + y}{2} = 2 \frac{11}{12} \]

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 2 \frac{11}{12} = \frac{2 \times 12 + 11}{12} = \frac{24 + 11}{12} = \frac{35}{12} \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ \frac{x + y}{2} = \frac{35}{12} \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ x + y = 2 \times \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6} \]

Также по условию, первое число в \( 1 \frac{1}{3} \) раза меньше второго. Это значит:

\[ x = y \times \left( 1 \frac{1}{3} \right) \]

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 1 \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]

Тогда:

\[ x = \frac{4}{3} y \]

Подставим это выражение для \( x \) в уравнение \( x + y = \frac{35}{6} \):

\[ \frac{4}{3} y + y = \frac{35}{6} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{4}{3} y + \frac{3}{3} y = \frac{35}{6} \]

\[ \frac{7}{3} y = \frac{35}{6} \]

Найдём \( y \):

\[ y = \frac{35}{6} \div \frac{7}{3} = \frac{35}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{35 \times 3}{6 \times 7} = \frac{5 \times 7 \times 3}{2 \times 3 \times 7} = \frac{5}{2} \]

Теперь найдём \( x \), подставив значение \( y \) в уравнение \( x = \frac{4}{3} y \):

\[ x = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{4 \times 5}{3 \times 2} = \frac{2 \times 2 \times 5}{3 \times 2} = \frac{10}{3} \]

Проверим среднее арифметическое:

\[ \frac{\frac{10}{3} + \frac{5}{2}}{2} = \frac{\frac{20}{6} + \frac{15}{6}}{2} = \frac{\frac{35}{6}}{2} = \frac{35}{12} = 2 \frac{11}{12} \]

Ответ: Первое число — \( \frac{10}{3} \) (или \( 3 \frac{1}{3} \)), второе число — \( \frac{5}{2} \) (или \( 2 \frac{1}{2} \)).