Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика4. Среднее арифметическое двух чисел равно 1 37 40 . Первое число в 1 1 5 раза меньше второго. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение:
Пусть первое число равно \( x \), а второе число равно \( y \).
По условию, среднее арифметическое двух чисел равно \( 1\frac{37}{40} \). Это значит:
\[ \frac{x + y}{2} = 1\frac{37}{40} \]\[ \frac{x + y}{2} = \frac{40 + 37}{40} = \frac{77}{40} \]\[ x + y = 2 \cdot \frac{77}{40} = \frac{77}{20} \]Также по условию, первое число в \( 1\frac{1}{5} \) раза меньше второго:
\[ x = y \cdot \left( 1 - \frac{1}{1\frac{1}{5}} \right) \]Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
\[ 1\frac{1}{5} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5} \]Теперь подставим значение первого числа во второе уравнение:
\[ x = y \cdot \frac{1}{\frac{6}{5}} = y \cdot \frac{5}{6} \]Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} x + y = \frac{77}{20} \\ x = \frac{5}{6}y \end{cases} \]Подставим значение \( x \) из второго уравнения в первое:
\[ \frac{5}{6}y + y = \frac{77}{20} \]Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{5y + 6y}{6} = \frac{77}{20} \]\[ \frac{11y}{6} = \frac{77}{20} \]Найдем \( y \):
\[ y = \frac{77}{20} \cdot \frac{6}{11} = \frac{7 \cdot 11}{20} \cdot \frac{6}{11} = \frac{7}{20} \cdot 6 = \frac{42}{20} = \frac{21}{10} \]Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{5}{6}y = \frac{5}{6} \cdot \frac{21}{10} = \frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{4} \]Проверим полученные числа:
\[ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{7}{4} + \frac{21}{10}}{2} = \frac{\frac{35 + 42}{20}}{2} = \frac{\frac{77}{20}}{2} = \frac{77}{40} = 1\frac{37}{40} \]Первое число \( x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \). Второе число \( y = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10} \).
Проверим условие, что первое число в \( 1\frac{1}{5} \) раза меньше второго:
\[ \frac{y}{x} = \frac{\frac{21}{10}}{\frac{7}{4}} = \frac{21}{10} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} \cdot \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \]Ответ: Первое число \( \frac{7}{4} \) (или \( 1\frac{3}{4} \)), второе число \( \frac{21}{10} \) (или \( 2\frac{1}{10} \)).
