4. Решите уравнение: a) $$\left(\frac{1}{81}\right)^{0.5x-1} = 9$$; б) $$\log_7 (4x+5) = 2$$; в) $$\left(\log_{\frac{1}{4}} x\right)^2 - 2\log_{\frac{1}{4}} x = 8$$; г) $$2\sin x - 1 = 0$$; д) $$\sqrt{8-x^2} = \sqrt{-7x}$$

Решение:

1. а) Преобразуем уравнение к одному основанию:
   $$ \left(\frac{1}{81}\right)^{0.5x-1} = 9 \\ \left((3^{-4})\right)^{0.5x-1} = 3^2 \\ 3^{-4(0.5x-1)} = 3^2 \\ -4(0.5x-1) = 2 \\ -2x + 4 = 2 \\ -2x = -2 \\ x = 1 $$
2. б) По определению логарифма:
   $$ 4x+5 = 7^2 \\ 4x+5 = 49 \\ 4x = 44 \\ x = 11 $$ Проверим область допустимых значений: $$4x+5 > 0 \rightarrow 4(11)+5=49>0$$.
3. в) Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_{\frac{1}{4}} x \).
   $$ y^2 - 2y = 8 \\ y^2 - 2y - 8 = 0 \\ (y-4)(y+2) = 0 $$ Следовательно, \( y = 4 \) или \( y = -2 \).
   Если \( y = 4 \): \( \log_{\frac{1}{4}} x = 4 \Rightarrow x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \).
   Если \( y = -2 \): \( \log_{\frac{1}{4}} x = -2 \Rightarrow x = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16 \).
4. г) Решаем тригонометрическое уравнение:
   $$ 2\sin x - 1 = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} $$ Общее решение:
   $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$ или $$ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$
5. д) Возведём обе части уравнения в квадрат:
   $$ 8 - x^2 = -7x \\ x^2 - 7x - 8 = 0 \\ (x-8)(x+1) = 0 $$ Получаем \( x = 8 \) или \( x = -1 \).
   Проверим область допустимых значений для исходного уравнения.
   Для \( \sqrt{8-x^2} \) нужно \( 8-x^2 \ge 0 \rightarrow x^2 \le 8 \rightarrow -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8} \).
   Для \( \sqrt{-7x} \) нужно \( -7x \ge 0 \rightarrow x \le 0 \).
   Общее условие: \( -\sqrt{8} \le x \le 0 \).
   При \( x = 8 \) условие не выполняется.
   При \( x = -1 \) условие выполняется: \( -\sqrt{8} \le -1 \le 0 \).
   Подставим \( x = -1 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{8-(-1)^2} = \sqrt{8-1} = \sqrt{7} \). \( \sqrt{-7(-1)} = \sqrt{7} \). Уравнение верно.

Ответ: а) 1; б) 11; в) $$\frac{1}{256}$$, 16; г) $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$; д) -1