4. Решите уравнение \(5 \sin^2 x - 8 \cos x - 5 = 0\). Определите число корней уравнения в интервале \([-4\pi; -0.3\pi]\). Полученное число запишите в опросный лист.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\).

Подставим это в уравнение:

\[ 5(1 - \cos^2 x) - 8 \cos x - 5 = 0 \]

\[ 5 - 5\cos^2 x - 8 \cos x - 5 = 0 \]

\[ -5\cos^2 x - 8 \cos x = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 5\cos^2 x + 8 \cos x = 0 \]

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\[ \cos x (5 \cos x + 8) = 0 \]

Получаем два случая:

1) \(\cos x = 0\)

Общее решение: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2) \(5 \cos x + 8 = 0 → \cos x = -\frac{8}{5}\)

Так как \(-1 \le \cos x \le 1\), а \(-\frac{8}{5} = -1.6\), это уравнение не имеет решений.

Теперь найдем корни из \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) в интервале \([-4\pi; -0.3\pi]\).

Подставим значения \(n\) и проверим, попадает ли корень в интервал:

\(n = -1\): \(x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} = -0.5\pi\). Этот корень попадает в интервал \([-4\pi; -0.3\pi]\).

\(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi\). Этот корень попадает в интервал.

\(n = -3\): \(x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2} = -2.5\pi\). Этот корень попадает в интервал.

\(n = -4\): \(x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi\). Этот корень попадает в интервал.

\(n = -5\): \(x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2} = -4.5\pi\). Этот корень НЕ попадает в интервал \(меньше -4\pi\).

\(n = 0\): \(x = \frac{\pi}{2} = 0.5\pi\). Этот корень НЕ попадает в интервал \(больше -0.3\pi\).

Таким образом, в интервале \([-4\pi; -0.3\pi]\) находятся следующие корни: \(-\frac{\pi}{2}\), \(-\frac{3\pi}{2}\), \(-\frac{5\pi}{2}\), \(-\frac{7\pi}{2}\).

Всего 4 корня.

Ответ: 4