4. Решите уравнение: 3y + 2 y - 3 3 a) ---- + ---- = ---- 4y² + y 16y² - 1 4y - 1

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Это задача из раздела "Алгебра", и, скорее всего, она для 8-9 класса.

Уравнение:

• \[ \frac{3y + 2}{4y^2 + y} + \frac{y - 3}{16y^2 - 1} = \frac{3}{4y - 1} \]

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам нужно разложить знаменатели на простые множители:

• Знаменатель первой дроби: 4y^2 + y = y(4y + 1)
• Знаменатель второй дроби: 16y^2 - 1 — это разность квадратов (4y)^2 - 1^2, поэтому (4y - 1)(4y + 1)
• Знаменатель третьей дроби: 4y - 1

Теперь наше уравнение выглядит так:

• \[ \frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y - 3}{(4y - 1)(4y + 1)} = \frac{3}{4y - 1} \]

Шаг 2: Определим область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому:

• y \(
eq\) 0
• 4y + 1 \(
eq\) 0 → y \(
eq\) -1/4
• 4y - 1 \(
eq\) 0 → y \(
eq\) 1/4

Шаг 3: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель для всех дробей будет: y(4y + 1)(4y - 1).

Шаг 4: Приведем все дроби к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители:

• Первая дробь: (3y + 2) \(\times\) (4y - 1)
• Вторая дробь: (y - 3) \(\times\) y
• Третья дробь: 3 \(\times\) y(4y + 1)

Теперь уравнение с общим знаменателем:

• \[ \frac{(3y + 2)(4y - 1)}{y(4y + 1)(4y - 1)} + \frac{(y - 3)y}{y(4y + 1)(4y - 1)} = \frac{3y(4y + 1)}{y(4y + 1)(4y - 1)} \]

Шаг 5: Приравняем числители

Поскольку знаменатели у нас одинаковые, мы можем просто приравнять числители:

• \[ (3y + 2)(4y - 1) + (y - 3)y = 3y(4y + 1) \]

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим уравнение

• Первое произведение: (3y + 2)(4y - 1) = 12y^2 - 3y + 8y - 2 = 12y^2 + 5y - 2
• Второе произведение: (y - 3)y = y^2 - 3y
• Третье произведение: 3y(4y + 1) = 12y^2 + 3y

Подставляем обратно в уравнение:

• \[ (12y^2 + 5y - 2) + (y^2 - 3y) = 12y^2 + 3y \]

Объединим подобные члены в левой части:

• \[ 13y^2 + 2y - 2 = 12y^2 + 3y \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ 13y^2 - 12y^2 + 2y - 3y - 2 = 0 \]
• \[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

Можно решить это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Давай используем дискриминант:

• a = 1, b = -1, c = -2
• Дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
• Корень из дискриминанта: √ D = √ 9 = 3

Найдем корни:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 3}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 3}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 8: Проверим корни по ОДЗ

Мы нашли два корня: y = 2 и y = -1. Наша ОДЗ была y \(
eq\) 0, y \(
eq\) -1/4, y \(
eq\) 1/4.

Оба найденных корня (2 и -1) не входят в ограничения ОДЗ. Значит, оба корня являются решениями нашего уравнения.

Ответ:

• \[ y = 2 \]
• \[ y = -1 \]