4. Решите уравнение: 1) x⁴ – 50x² + 49 = 0; 2) x⁴ – 5x² – 36 = 0;

Решение:

1) \( x^4 - 50x^2 + 49 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 50y + 49 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 \)

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{50 + 48}{2} = \frac{98}{2} = 49 \]

\[ y_2 = \frac{50 - 48}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

1) \( x^2 = 49 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \)

2) \( x^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \)

2) \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 5y - 36 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \)

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

1) \( x^2 = 9 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)

2) \( x^2 = -4 \) \( \Rightarrow \) Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: 1) \( x = \pm 7, x = \pm 1 \); 2) \( x = \pm 3 \).