4. Решите неравенство \((3-\sqrt{10})x > 19-6\sqrt{10}\) и укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству.

Решение:

Данное неравенство:

\((3-\sqrt{10})x > 19-6\sqrt{10}\)

1. Оценим значение \(3-\sqrt{10}\). Так как \(3 = \sqrt{9}\) и \(\sqrt{10} > \sqrt{9}\), то \(3-\sqrt{10} < 0\).
2. Рассмотрим правую часть: \(19-6\sqrt{10}\). Заметим, что \((3-\sqrt{10})^2 = 3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 9 - 6\sqrt{10} + 10 = 19 - 6\sqrt{10}\).
3. Таким образом, неравенство можно переписать как: \((3-\sqrt{10})x > (3-\sqrt{10})^2\)
4. Так как \(3-\sqrt{10} < 0\), при делении обеих частей неравенства на \((3-\sqrt{10})\) нужно изменить знак неравенства на противоположный:
5. \(x < \frac{(3-\sqrt{10})^2}{3-\sqrt{10}}\)
6. \(x < 3-\sqrt{10}\)
7. Оценим значение \(3-\sqrt{10}\). \(\sqrt{9} = 3\) и \(\sqrt{16} = 4\). \(\sqrt{10}\) находится между 3 и 4. \(\sqrt{10} \approx 3.16\).
8. \(3 - \sqrt{10} \approx 3 - 3.16 = -0.16\).
9. Значит, \(x < -0.16\).
10. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -1.

Ответ: -1.