4. Решите неравенство: 1) (x-6)(2-x)/(x+3) >= 0 2)*(x + 2)^2(x-3)(4-x) >= 0;

Решение:

1) \( \frac{(x-6)(2-x)}{x+3} \ge 0 \)

Для решения этого неравенства методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

Корни числителя:

• \( x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \)
• \( 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Корень знаменателя:

• \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)

Отметим эти точки на числовой оси: -3, 2, 6. Они разбивают ось на интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 2] \), \( [2, 6] \), \( [6, \infty) \).

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{(-4-6)(2-(-4))}{-4+3} = \frac{(-10)(6)}{-1} = 60 > 0 \)
• При \( -3 < x \le 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{(0-6)(2-0)}{0+3} = \frac{(-6)(2)}{3} = -4 < 0 \)
• При \( 2 \le x \le 6 \) (например, \( x = 3 \)): \( \frac{(3-6)(2-3)}{3+3} = \frac{(-3)(-1)}{6} = \frac{3}{6} = 0.5 > 0 \)
• При \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( \frac{(7-6)(2-7)}{7+3} = \frac{(1)(-5)}{10} = -0.5 < 0 \)

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( [2, 6] \). Точка \( x = -3 \) исключается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2) \( (x + 2)^2(x-3)(4-x) \ge 0 \)

Найдем корни числителя и знаменателя (в данном случае знаменателя нет).

Корни:

• \( (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (корень кратности 2)
• \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
• \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \)

Отметим эти точки на числовой оси: -2, 3, 4. Они разбивают ось на интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3] \), \( [3, 4] \), \( [4, \infty) \).

Учтём, что корень \( x = -2 \) имеет чётную кратность, поэтому знак выражения при переходе через него не меняется.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( (-3+2)^2(-3-3)(4-(-3)) = (-1)^2(-6)(7) = 1(-6)(7) = -42 < 0 \)
• При \( -2 < x \le 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+2)^2(0-3)(4-0) = (4)(-3)(4) = -48 < 0 \)
• При \( 3 \le x \le 4 \) (например, \( x = 3.5 \)): \( (3.5+2)^2(3.5-3)(4-3.5) = (5.5)^2(0.5)(0.5) = (30.25)(0.25) > 0 \)
• При \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( (5+2)^2(5-3)(4-5) = (7)^2(2)(-1) = 49(2)(-1) = -98 < 0 \)

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервале \( [3, 4] \). Точки \( x = 3 \) и \( x = 4 \) включаются, так как неравенство нестрогое.

Ответ: 1) \( x \in (-\infty, -3) \cup [2, 6] \); 2) \( x \in [3, 4] \).