4) Решить систему уравнений: {4(m + 2) = 1 - 5n, 3(n + 2) = 5 - 2m}

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 4(m + 2) = 1 - 5n \\ 3(n + 2) = 5 - 2m \end{cases} \)

Раскроем скобки в каждом уравнении:

\( \begin{cases} 4m + 8 = 1 - 5n \\ 3n + 6 = 5 - 2m \end{cases} \)

Перенесём переменные в левую часть, а числа — в правую:

\( \begin{cases} 4m + 5n = 1 - 8 \\ 2m + 3n = 5 - 6 \end{cases} \)

Упростим:

\( \begin{cases} 4m + 5n = -7 \\ 2m + 3n = -1 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2, чтобы получить противоположные коэффициенты при \( m \):

\( \begin{cases} 4m + 5n = -7 \\ 2(2m + 3n) = 2(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4m + 5n = -7 \\ 4m + 6n = -2 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (4m + 6n) - (4m + 5n) = -2 - (-7) \)

\( 4m + 6n - 4m - 5n = -2 + 7 \)

\( n = 5 \)

Подставим значение \( n = 5 \) во второе уравнение системы \( 2m + 3n = -1 \):

\( 2m + 3(5) = -1 \)

\( 2m + 15 = -1 \)

\( 2m = -1 - 15 \)

\( 2m = -16 \)

\( m = -8 \)

Проверка:

Первое уравнение: \( 4(-8 + 2) = 4(-6) = -24 \). \( 1 - 5(5) = 1 - 25 = -24 \). Верно.

Второе уравнение: \( 3(5 + 2) = 3(7) = 21 \). \( 5 - 2(-8) = 5 + 16 = 21 \). Верно.

Ответ: \( m = -8, n = 5 \).