4. Решить неравенства: а) \(\log_7 x+\log_7(3x-8)\ge 1+2\log_7 2\); б) \(25^x-26\cdot5^x+25\le0\).

а) Область допустимых значений: \(x>0\) и \(3x-8>0\), поэтому \(x>\frac{8}{3}\).

Объединим логарифмы и представим правую часть логарифмом с основанием 7: \(\log_7\bigl(x(3x-8)\bigr)\ge\log_7 28\).

Так как основание \(7>1\), сравним аргументы: \(x(3x-8)\ge28\), то есть \(3x^2-8x-28\ge0\).

Корни квадратного трёхчлена: \(x=-2\) и \(x=\frac{14}{3}\). Неравенство выполняется при \(x\le-2\) или \(x\ge\frac{14}{3}\). С учётом ОДЗ остаётся \(x\ge\frac{14}{3}\).

б) Заменим \(25^x\) на \((5^x)^2\) и введём замену \(t=5^x\), где \(t>0\): \(t^2-26t+25\le0\).

Разложим на множители: \((t-1)(t-25)\le0\), откуда \(1\le t\le25\).

Возвращаемся к замене: \(1\le5^x\le25=5^2\). Функция \(5^x\) возрастает, поэтому \(0\le x\le2\).

Ответ: а) \(x\in\left[\frac{14}{3};+\infty\right)\); б) \(x\in[0;2]\).