4. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен см, а два угла треугольника равны по 45°. Найдите стороны треугольника АВС.

Решение:

1. Анализ условия:
   Дан треугольник АВС, описанный около окружности. Радиус описанной окружности (R) нам не задан числом (указано "см"), но его значение будет использоваться в формулах. Два угла треугольника равны 45°.
2. Нахождение третьего угла:
   Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть два угла равны 45°. Тогда третий угол равен:
   \[ \angle C = 180° - 45° - 45° = 90° \]
   Следовательно, треугольник АВС является прямоугольным, причем углы при основании равны 45°, что означает, что это равнобедренный прямоугольный треугольник.
3. Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника:
   В таком треугольнике катеты равны. Обозначим катеты как AB и AC, а гипотенузу как BC.
   AB = AC.
   Углы при основании равны 45°, а угол при вершине — 90°.
4. Связь сторон и радиуса описанной окружности:
   Для любого треугольника справедливо соотношение:
   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
   где a, b, c — стороны треугольника, а A, B, C — противолежащие углы, R — радиус описанной окружности.
5. Нахождение гипотенузы (BC):
   В нашем случае, гипотенуза BC противолежит прямому углу C = 90°.
   \[ \frac{BC}{\sin 90°} = 2R \]
   \[ \frac{BC}{1} = 2R \]
   \[ BC = 2R \]
   Таким образом, гипотенуза равна диаметру описанной окружности.
6. Нахождение катетов (AB и AC):
   Так как треугольник равнобедренный, AB = AC. Обозначим катет как 'a'.
   Используем теорему Пифагора:
   \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
   \[ a^2 + a^2 = (2R)^2 \]
   \[ 2a^2 = 4R^2 \]
   \[ a^2 = 2R^2 \]
   \[ a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} \]

Ответ: Стороны треугольника АВС равны: катеты (AB и AC) — R√2, гипотенуза (BC) — 2R, где R — радиус описанной окружности.