4. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=48°, ∠2= 57°. Ответ дайте в градусах

Question

4. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=48°, ∠2= 57°. Ответ дайте в градусах

Accepted Answer

Решение:

Так как прямые $ m $ и $ n $ параллельны, то угол $ \angle 1 $ и внутренний накрест лежащий угол при пересечении прямой $ m $ секущей равны. Этот угол равен $ 48^\circ $.

Угол $ \angle 2 $ и внутренний накрест лежащий угол при пересечении прямой $ n $ той же секущей равны. Этот угол равен $ 57^\circ $.

Угол $ \angle 3 $ является частью угла, образованного пересечением двух секущих. Однако, информация о $ \angle 2 $ избыточна, так как $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются смежными углами, если секущая является прямой линией. В данном случае, секущая не является прямой линией, а образует треугольник.

Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трёх прямых. В этом треугольнике углы равны:

$ \angle 1 = 48^\circ $
$ \angle 2 = 57^\circ $
$ \angle 3 = ? $

Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Поэтому:

$ \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 - \text{смежный угол с} \angle 2 $

Необходимо найти другой угол, смежный с $ \angle 2 $ или использовать свойство параллельных прямых.

Так как $ m ‖ n $, то угол, накрест лежащий с $ \angle 1 $ равен $ 48^\circ $. Этот угол и $ \angle 3 $ являются частями угла, образуемого двумя секущими.

Рассмотрим более внимательно рисунок. Угол $ \angle 1 $ и угол, смежный с $ \angle 3 $ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $ m $ и $ n $ и одной из секущих. Следовательно, смежный угол с $ \angle 3 $ равен $ 48^\circ $.

Угол $ \angle 3 $ является частью угла, образованного пересечением двух секущих.

Рассмотрим ещё раз. Угол $ \angle 1 $ и угол, который является смежным с $ \angle 3 $ (тот, который находится слева от $ \angle 3 $ внутри треугольника) являются накрест лежащими. Значит, этот смежный угол равен $ 48^\circ $.

Угол $ \angle 2 $ и угол, который является смежным с $ \angle 3 $ (тот, который находится справа от $ \angle 3 $ внутри треугольника) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $ m $ и $ n $ и другой секущей. Сумма таких углов равна $ 180^\circ $. Значит, этот другой смежный угол равен $ 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ $.

Это неверно, $ \angle 2 $ не связан с $ \angle 3 $ таким образом.

Рассмотрим треугольник, образованный секущими и прямой $ m $. Один из углов равен $ \angle 1 = 48^\circ $. Другой угол равен $ 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ $ (смежный с $ \angle 2 $). Тогда $ \angle 3 = 180^\circ - 48^\circ - 123^\circ = 9^\circ $. Это противоречит рисунку.

Давайте ещё раз. Прямые $ m $ и $ n $ параллельны. Угол $ \angle 1 = 48^\circ $. Угол $ \angle 2 = 57^\circ $. Нам нужно найти $ \angle 3 $.

Угол $ \angle 1 $ и угол, который находится слева от $ \angle 3 $ внутри треугольника, являются накрест лежащими, следовательно, этот угол равен $ 48^\circ $.

Угол $ \angle 2 $ и угол, который находится справа от $ \angle 3 $ внутри треугольника, являются внутренними односторонними. Их сумма равна $ 180^\circ $. Значит, этот угол равен $ 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ $.

Это всё ещё не ведёт к $ \angle 3 $ как углу треугольника.

Рассмотрим прямую $ m $ и секущую. Угол $ \angle 1 = 48^\circ $. Угол, смежный с $ \angle 3 $ (левый) и $ \angle 1 $ являются накрест лежащими, значит, смежный угол равен $ 48^\circ $.

Теперь рассмотрим прямую $ n $ и ту же секущую. Угол $ \angle 2 = 57^\circ $. Угол, смежный с $ \angle 3 $ (правый) и $ \angle 2 $ являются внутренними односторонними. Их сумма равна $ 180^\circ $. Значит, этот правый смежный угол равен $ 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ $.

$ \angle 3 $ не является углом треугольника, а является частью пересечения. Это угол, образованный двумя секущими.

Проведём через вершину угла $ \angle 3 $ прямую $ p $, параллельную $ m $ и $ n $.

Тогда угол $ \angle 1 $ и часть угла $ \angle 3 $ (верхняя) будут накрест лежащими, значит, верхняя часть $ \angle 3 $ равна $ 48^\circ $.

Угол $ \angle 2 $ и нижняя часть угла $ \angle 3 $ будут накрест лежащими. Следовательно, нижняя часть $ \angle 3 $ равна $ 57^\circ $.

$ \angle 3 = \text{верхняя часть} + \text{нижняя часть} = 48^\circ + 57^\circ = 105^\circ $

Ответ: $$105^\circ$$.