4. Придумайте какие-нибудь пять разных чисел, у которых среднее значение: а) больше первого числа; б) больше четырех первых чисел, но меньше пятого; в) больше или равно четвертому, но меньше пятого.

Решение:

а) Среднее значение больше первого числа.

1. Пусть числа в порядке возрастания: \( a, b, c, d, e \).
2. По условию: \( \frac{a+b+c+d+e}{5} > a \).
3. Умножим обе части на 5: \( a+b+c+d+e > 5a \).
4. Вычтем \( a \) из обеих частей: \( b+c+d+e > 4a \).
5. Это условие всегда выполняется, если числа идут в порядке возрастания и \( a \) — наименьшее из них.
6. Пример: 1, 2, 3, 4, 5.
7. Среднее арифметическое: \( \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \). \( 3 > 1 \).

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) Среднее значение больше четырех первых чисел, но меньше пятого.

1. По условию: \( \frac{a+b+c+d+e}{5} > a, b, c, d \) и \( \frac{a+b+c+d+e}{5} < e \).
2. Это означает, что среднее арифметическое находится между наименьшим и наибольшим числом.
3. Пример: 2, 3, 4, 5, 11.
4. Среднее арифметическое: \( \frac{2+3+4+5+11}{5} = \frac{25}{5} = 5 \).
5. \( 5 \) больше, чем \( 2, 3, 4 \), и равно \( 5 \) (что не строго больше, но допустимо, так как условие \( >a,b,c,d \) означает \( >a \), \( >b \), \( >c \), \( >d \). Однако, если требуется строгое неравенство, можно взять \( 2, 3, 4, 5, 12 \), среднее будет \( 26/5 = 5.2 \). \( 5.2 \) больше \( 2, 3, 4, 5 \) и меньше \( 12 \).
6. Возьмем пример с более явным соблюдением неравенства.
7. Пример: 3, 4, 5, 6, 10.
8. Среднее арифметическое: \( \frac{3+4+5+6+10}{5} = \frac{28}{5} = 5.6 \).
9. \( 5.6 \) больше \( 3, 4, 5 \) и меньше \( 10 \).

Ответ: 3, 4, 5, 6, 10.

в) Среднее значение больше или равно четвертому, но меньше пятого.

1. Пусть числа в порядке возрастания: \( a, b, c, d, e \).
2. По условию: \( d \le \frac{a+b+c+d+e}{5} < e \).
3. Пример: 1, 2, 3, 6, 7.
4. Среднее арифметическое: \( \frac{1+2+3+6+7}{5} = \frac{19}{5} = 3.8 \).
5. \( 3.8 \) меньше \( 6 \). Это условие не выполнено.
6. Попробуем другой пример: 1, 2, 3, 7, 8.
7. Среднее арифметическое: \( \frac{1+2+3+7+8}{5} = \frac{21}{5} = 4.2 \).
8. \( 4.2 \) меньше \( 7 \) и \( 8 \). Условие \( d \le \text{среднее} \) не выполнено.
9. Нужно, чтобы среднее было ближе к \( d \) и \( e \).
10. Пример: 1, 2, 3, 8, 9.
11. Среднее арифметическое: \( \frac{1+2+3+8+9}{5} = \frac{23}{5} = 4.6 \).
12. \( 4.6 \) меньше \( 8 \).
13. Давайте попробуем числа, которые дадут среднее больше \( d \).
14. Пусть \( d=6, e=10 \). Среднее должно быть \( \ge 6 \) и \( < 10 \).
15. Пусть \( a=1, b=2, c=3 \). Сумма первых трех = \( 6 \).
16. \( \frac{6+6+10}{5} = \frac{22}{5} = 4.4 \). Это меньше \( 6 \).
17. Нужно, чтобы сумма \( a+b+c \) была больше, чтобы среднее поднялось.
18. Пусть \( a=4, b=5, c=6 \). Сумма = \( 15 \). \( d=8, e=10 \).
19. Среднее: \( \frac{15+8+10}{5} = \frac{33}{5} = 6.6 \).
20. \( 6.6 \) больше или равно \( 8 \) — НЕТ.
21. Среднее должно быть \( \ge d \).
22. Пусть \( d=5, e=10 \). Среднее \( \ge 5 \) и \( < 10 \).
23. Возьмем \( a=1, b=2, c=3 \). Сумма = \( 6 \).
24. Среднее: \( \frac{6+5+10}{5} = \frac{21}{5} = 4.2 \). Это меньше \( 5 \).
25. Чтобы среднее было \( \ge d \), нужно, чтобы \( a+b+c+d+e \ge 5d \).
26. \( a+b+c+e \ge 4d \).
27. Попробуем: \( a=1, b=2, c=3, d=5, e=9 \).
28. Сумма = \( 1+2+3+5+9 = 20 \). Среднее = \( 20/5 = 4 \).
29. \( d=5 \). \( 4 < 5 \). Не выполнено.
30. Попробуем: \( a=1, b=2, c=3, d=6, e=8 \).
31. Сумма = \( 1+2+3+6+8 = 20 \). Среднее = \( 4 \). \( d=6 \). \( 4 < 6 \).
32. Условие \( d \le \text{среднее} \) означает, что \( d \) не может быть сильно больше остальных чисел.
33. Пусть \( d=5 \). Среднее \( \ge 5 \) и \( < e \).
34. Пример: 1, 2, 3, 5, 14.
35. Среднее: \( \frac{1+2+3+5+14}{5} = \frac{25}{5} = 5 \).
36. \( 5 \) больше или равно \( d=5 \). \( 5 \) меньше \( e=14 \).

Ответ: 1, 2, 3, 5, 14.