4. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Решение:

Пусть данный перпендикуляр равен \(h = 10\) см.

Пусть диаметр AB делится точкой M на два отрезка AM и MB.

Пусть AM = x, а MB = y.

По условию, \(h = 10\) см, и \( |x - y| = 21 \) см.

Из геометрических свойств, высота, опущенная из точки на окружности на диаметр, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит диаметр:

\(h^2 = x · y\)

\(10^2 = x · y\)

\(100 = x · y\)

У нас есть система уравнений:

1. \( |x - y| = 21 \)
2. \( x · y = 100 \)

Рассмотрим два случая для первого уравнения:

Случай 1: x - y = 21

Из первого уравнения: \(x = y + 21\).

Подставим во второе уравнение:

\((y + 21) · y = 100\)

\(y^2 + 21y - 100 = 0\)

Найдём дискриминант:

\(D = 21^2 - 4 · 1 · (-100) = 441 + 400 = 841\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29\)

\(y = \frac{-21 \pm 29}{2}\)

\(y_1 = \frac{-21 + 29}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

\(y_2 = \frac{-21 - 29}{2} = \frac{-50}{2} = -25\) (не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Если \(y = 4\) см, то \(x = 4 + 21 = 25\) см.

Диаметр \(d = x + y = 25 + 4 = 29\) см.

Радиус \(R = \frac{d}{2} = \frac{29}{2} = 14.5\) см.

Случай 2: y - x = 21

Из первого уравнения: \(y = x + 21\).

Подставим во второе уравнение:

\(x · (x + 21) = 100\)

\(x^2 + 21x - 100 = 0\)

Это то же самое квадратное уравнение, что и в первом случае, с переменной \(x\).

\(x = \frac{-21 \pm 29}{2}\)

\(x_1 = \frac{-21 + 29}{2} = 4\) см.

\(x_2 = \frac{-21 - 29}{2} = -25\) (не подходит).

Если \(x = 4\) см, то \(y = 4 + 21 = 25\) см.

Диаметр \(d = x + y = 4 + 25 = 29\) см.

Радиус \(R = \frac{d}{2} = \frac{29}{2} = 14.5\) см.

В обоих случаях получаем один и тот же радиус.

Ответ: 14,5 см.