4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость поезда по расписанию (км/ч), а \( t \) — время в пути по расписанию (ч).

Расстояние \( S = 80 \) км.

По расписанию: \( S = v · t \) → \( 80 = v · t \) (1)

Фактически:

Скорость была \( v + 10 \) км/ч.

Время в пути было на \( 16 \) минут меньше, что составляет \( \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \) часа. То есть, \( t - \frac{4}{15} \) часа.

\( S = (v + 10) · (t - \frac{4}{15}) \) → \( 80 = (v + 10) · (t - \frac{4}{15}) \) (2)

Из уравнения (1) выразим \( t = \frac{80}{v} \) и подставим во второе уравнение:

\( 80 = (v + 10) · (\frac{80}{v} - \frac{4}{15}) \)

Раскроем скобки:

\( 80 = v · \frac{80}{v} - v · \frac{4}{15} + 10 · \frac{80}{v} - 10 · \frac{4}{15} \)

\( 80 = 80 - \frac{4v}{15} + \frac{800}{v} - \frac{40}{15} \)

\( 0 = - \frac{4v}{15} + \frac{800}{v} - \frac{8}{3} \)

Умножим всё уравнение на \( 15v \) для избавления от знаменателей:

\( 0 = -4v^2 + 800 · 15 - 8 · 5v \)

\( 0 = -4v^2 + 12000 - 40v \)

Разделим на -4:

\( 0 = v^2 + 10v - 3000 \)

Решим квадратное уравнение \( v^2 + 10v - 3000 = 0 \) через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 · 1 · (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-10 + 110}{2 · 1} = \frac{100}{2} = 50 \)

\( v_2 = \frac{-10 - 110}{2 · 1} = \frac{-120}{2} = -60 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 50 \) км/ч.

Ответ: 50 км/ч.