4. Острый угол прямоугольного треугольника равен 38°. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 38^{\circ} \).

Найдем второй острый угол \( \angle B \):

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \).

Проведем высоту CD из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике CDB \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

\( \angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ} \).

Проведем биссектрису CE из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Биссектриса делит прямой угол \( \angle C \) пополам:

\( \angle ACE = \angle BCE = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

Угол между биссектрисой CE и высотой CD равен разности углов \( \angle BCE \) и \( \angle BCD \):

\( \angle ECD = |\angle BCE - \angle BCD| \)

\( \angle ECD = |45^{\circ} - 38^{\circ}| \)

\( \angle ECD = 7^{\circ} \).

Ответ: 7°.