4. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где BC и AD — основания, а CD — высота (перпендикулярная основаниям). Пусть BC = 9 см, AD = 17 см. Диагональ AC является биссектрисой тупого угла C.

Так как трапеция прямоугольная, то \( \angle B = \angle C = 90° \).

Диагональ AC делит угол C (90°) на два угла, \( \angle ACB \) и \( \angle ACD \).

AC является биссектрисой угла C, значит \( \angle ACB = \angle ACD = \frac{90°}{2} = 45° \).

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (\( \angle B = 90° \)).

В этом треугольнике \( \angle ACB = 45° \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \( \angle BAC = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Значит, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где \( AB = BC \).

По условию, основание BC = 9 см. Следовательно, высота AB = 9 см.

Теперь мы знаем основания трапеции (BC = 9 см, AD = 17 см) и её высоту (AB = 9 см).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

\( S = \frac{9 + 17}{2} \cdot 9 \)

\( S = \frac{26}{2} \cdot 9 \)

\( S = 13 \cdot 9 \)

\( S = 117 \) см².

Ответ: 117 см².