4. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 7 см и 8см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 65 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем третью сторону основания (c) по теореме косинусов:

\( c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120°) \)

\( c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( c^2 = 113 + 56 \)

\( c^2 = 169 \)

\( c = \sqrt{169} = 13 \) см.

Стороны основания равны 7 см, 8 см и 13 см.

2. Найдем высоту призмы (h):

Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников со сторонами \( 7 \times h \), \( 8 \times h \) и \( 13 \times h \).

Наибольшая площадь боковой грани равна 65 см². Это соответствует наибольшей стороне основания, то есть 13 см.

\( 13 \times h = 65 \)

\( h = \frac{65}{13} = 5 \) см.

3. Найдем площадь основания (S_осн):

Площадь треугольника находится по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) \).

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(120°) \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S_{осн} = 14\sqrt{3} \) см².

4. Найдем площадь боковой поверхности (S_бок):

S_бок = периметр основания (P) × высота (h).

Периметр основания: P = 7 см + 8 см + 13 см = 28 см.

S_бок = 28 см × 5 см = 140 см².

5. Найдем площадь полной поверхности (S_полн):

S_полн = S_бок + 2 × S_осн.

S_полн = 140 см² + 2 × \( 14\sqrt{3} \) см².

S_полн = \( 140 + 28\sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \( 140 + 28\sqrt{3} \) см².