4. Окружность вписана в треугольник ABC, M, K и P — точки ее касания со сторонами. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону BC.

Решение:

На рисунке изображён треугольник \( \triangle ABC \) и вписанная в него окружность с точками касания \( P \) на стороне \( AB \), \( K \) на стороне \( BC \) и \( M \) на стороне \( AC \).

Из рисунка нам даны длины отрезков:

• \( AP = 9 \)
• \( BK = 3 \)
• \( CM = 5 \)

Свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности:

1. Отрезки касательных от точки касания до внешней точки равны.

Исходя из этого свойства:

• \( AP = AM = 9 \)
• \( BK = BP = 3 \)
• \( CK = CM = 5 \)

Теперь найдём длину стороны \( BC \). Сторона \( BC \) состоит из двух отрезков: \( BK \) и \( KC \).

\( BC = BK + KC \)

Мы знаем \( BK = 3 \). Нам нужно найти \( KC \).

Из свойства касательных, \( KC = CM \).

По условию, \( CM = 5 \). Следовательно, \( KC = 5 \).

Теперь мы можем найти \( BC \):

\( BC = BK + KC = 3 + 5 = 8 \)

Ответ: BC = 8.