4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = x²/3 и прямая y = 6x – 15. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, нужно решить систему уравнений:

• \[ \begin{cases} y = \frac{x^2}{3} \\ y = 6x - 15 \end{cases} \]

Шаг 1: Приравниваем уравнения

Так как обе функции равны y, мы можем приравнять их:

• \[ \frac{x^2}{3} = 6x - 15 \]

Шаг 2: Приводим уравнение к квадратному виду

Умножаем обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

• \[ x^2 = 18x - 45 \]

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

• \[ x^2 - 18x + 45 = 0 \]

Шаг 3: Находим дискриминант

Дискриминант (D) квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b² - 4ac.

В нашем случае: a = 1, b = -18, c = 45.

• \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 \]
• \[ D = 324 - 180 \]
• \[ D = 144 \]

Шаг 4: Анализируем значение дискриминанта

Так как дискриминант D = 144, что больше нуля (D > 0), это означает, что у квадратного уравнения есть два различных действительных корня. Следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Шаг 5: Находим координаты точек пересечения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.

• \[ x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
• \[ x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь находим соответствующие значения y, подставляя найденные x в уравнение прямой (можно и в уравнение параболы, результат будет тот же):

• Для x₁ = 15:
• \[ y_1 = 6 \cdot 15 - 15 = 90 - 15 = 75 \]

• Для x₂ = 3:
• \[ y_2 = 6 \cdot 3 - 15 = 18 - 15 = 3 \]

Таким образом, точки пересечения имеют координаты (15; 75) и (3; 3).

Ответ: Парабола и прямая пересекаются. Координаты точек пересечения: (15; 75) и (3; 3).