4. Найти вторую производную y = ln sin x

Решение:

Чтобы найти вторую производную функции \( y = \ln(\sin x) \), найдем сначала первую производную, а затем продифференцируем её.

1. Найдем первую производную:
   • \( y' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg}(x) \).
2. Найдем вторую производную, продифференцировав первую производную:
   • \( y'' = (\text{ctg}(x))' \).
   • Вспомним, что производная \( \text{ctg}(x) \) равна \( -\frac{1}{\sin^2 x} \).
   • Таким образом, \( y'' = -\frac{1}{\sin^2 x} \).

Ответ: Вторая производная функции \( y = \ln(\sin x) \) равна \( y'' = -\frac{1}{\sin^2 x} \).