4. Найдите значение выражения \(\frac{2x^2+7x+9}{x^2-1} + \frac{4x+3}{x^2+x+1} - \frac{5}{x-1}\), при \(x = 1,1\).

Решение:

Сначала упростим выражение.

1. Разложим знаменатель \(x^2-1\) как разность квадратов: \((x-1)(x+1)\).
2. Общий знаменатель для всех дробей: \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)\).
3. Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\frac{2x^2+7x+9}{(x-1)(x+1)} + \frac{4x+3}{x^2+x+1} - \frac{5}{x-1}\)

= \(\frac{(2x^2+7x+9)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} + \frac{(4x+3)(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x-1)(x+1)} - \frac{5(x+1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}\)

Упростим числители:

Числитель первой дроби:
\((2x^2+7x+9)(x^2+x+1) = 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 7x^3 + 7x^2 + 7x + 9x^2 + 9x + 9 = 2x^4 + 9x^3 + 18x^2 + 16x + 9\)

Числитель второй дроби:
\((4x+3)(x^2-1) = 4x^3 - 4x + 3x^2 - 3 = 4x^3 + 3x^2 - 4x - 3\)

Числитель третьей дроби:
\(5(x+1)(x^2+x+1) = 5(x^3+x^2+x+x^2+x+1) = 5(x^3+2x^2+2x+1) = 5x^3+10x^2+10x+5\)

Теперь подставим упрощённые числители обратно в выражение:

\(\frac{(2x^4 + 9x^3 + 18x^2 + 16x + 9) + (4x^3 + 3x^2 - 4x - 3) - (5x^3+10x^2+10x+5)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}\)

Сложим и вычтем члены числителя:

\(2x^4 + (9+4-5)x^3 + (18+3-10)x^2 + (16-4-10)x + (9-3-5)\)

= \(2x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 2x + 1\)

Знаменатель: \((x-1)(x+1)(x^2+x+1) = (x^2-1)(x^2+x+1)\)

Разложим \(2x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 2x + 1\) на множители. Этот многочлен не делится просто на \(x^2-1\) или \(x^2+x+1\).

Замечание: Похоже, что в условии опечатка, так как упрощение не приводит к очевидному результату для последующего подставления \(x=1.1\). Возможно, знаменатель \(x^2+x+1\) должен был быть \(x^2+2x+1 = (x+1)^2\) или \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\).

Предполагая, что задание корректно, подставим \(x=1.1\):

\(x = 1.1\)
\(x^2 = 1.21\)
\(x^3 = 1.331\)
\(x^4 = 1.4641\)

Числитель:
\(2(1.4641) + 8(1.331) + 11(1.21) + 2(1.1) + 1\)
= \(2.9282 + 10.648 + 13.31 + 2.2 + 1\)
= \(30.0862\)

Знаменатель:
\(x^2-1 = 1.21 - 1 = 0.21\)
\(x^2+x+1 = 1.21 + 1.1 + 1 = 3.31\)
\((x-1)(x+1)(x^2+x+1) = (0.1)(2.1)(3.31) = 0.21 \times 3.31 = 0.6951\)

Значение выражения:
\(\frac{30.0862}{0.6951} \approx 43.2834\)

Ответ: \(\approx 43.2834\).