4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 24см, и боковой стороной, равной 13см.

Решение:

Пусть \( a \) - боковая сторона, \( b \) - основание равнобедренного треугольника.

\( a = 13 \) см, \( b = 24 \) см.

Найдем высоту \( h \) треугольника. Высота, проведенная к основанию, делит его пополам: \( \frac{b}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) см.

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и половиной основания, по теореме Пифагора:

\( h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \)

\( h^2 + 12^2 = 13^2 \)

\( h^2 + 144 = 169 \)

\( h^2 = 169 - 144 = 25 \)

\( h = \sqrt{25} = 5 \) см.

Площадь треугольника \( S \) равна:

\( S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60 \) см².

Радиус вписанной окружности \( r \) в треугольник находится по формуле:

\( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) - полупериметр треугольника.

Периметр \( P = a + a + b = 13 + 13 + 24 = 50 \) см.

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) см.

Радиус вписанной окружности:

\( r = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2.4 \) см.

Ответ: 2.4 см.