4. Найдите площадь поверхности и объем куба, ребро которого равно 12 дм. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности и во сколько раз – объем куба, если ребро уменьшить вдвое?

Решение:

1. Найдем площадь поверхности и объем исходного куба.

1. Ребро куба: \( a_1 = 12 \text{ дм} \)
2. Площадь поверхности куба: \( S_1 = 6 \cdot a_1^2 = 6 \cdot (12 \text{ дм})^2 = 6 \cdot 144 \text{ дм}^2 = 864 \text{ дм}^2 \)
3. Объем куба: \( V_1 = a_1^3 = (12 \text{ дм})^3 = 1728 \text{ дм}^3 \)

2. Найдем площадь поверхности и объем куба с уменьшенным ребром.

1. Новое ребро куба: \( a_2 = 12 \text{ дм} : 2 = 6 \text{ дм} \)
2. Новая площадь поверхности куба: \( S_2 = 6 \cdot a_2^2 = 6 \cdot (6 \text{ дм})^2 = 6 \cdot 36 \text{ дм}^2 = 216 \text{ дм}^2 \)
3. Новый объем куба: \( V_2 = a_2^3 = (6 \text{ дм})^3 = 216 \text{ дм}^3 \)

3. Определим, во сколько раз уменьшилась площадь поверхности и объем.

1. Во сколько раз уменьшилась площадь поверхности: \( S_1 : S_2 = 864 \text{ дм}^2 : 216 \text{ дм}^2 = 4 \) раза.
2. Во сколько раз уменьшился объем: \( V_1 : V_2 = 1728 \text{ дм}^3 : 216 \text{ дм}^3 = 8 \) раз.

Ответ: Площадь поверхности уменьшится в 4 раза, а объем – в 8 раз.