4. Найдите четвёртый член арифметической прогрессии, если третий её член равен 3, а пятый равен 25.

Решение:

1. Обозначим арифметическую прогрессию как a_n.
2. Известно: a₃ = 3, a₅ = 25.
3. Формула n-го члена: a_n = a₁ + (n-1)d, где d — разность прогрессии.
4. Составим систему уравнений:
• \[ a_{3} = a_{1} + (3-1)d = a_{1} + 2d = 3 \]
• \[ a_{5} = a_{1} + (5-1)d = a_{1} + 4d = 25 \]
5. Вычтем первое уравнение из второго:
• \[ (a_{1} + 4d) - (a_{1} + 2d) = 25 - 3 \]
• \[ 2d = 22 \]
• \[ d = 11 \]
6. Найдем a₁:
• \[ a_{1} + 2(11) = 3 \]
• \[ a_{1} + 22 = 3 \]
• \[ a_{1} = -19 \]
7. Найдем четвёртый член a₄:
• \[ a_{4} = a_{3} + d = 3 + 11 = 14 \]
• Или: \[ a_{4} = a_{1} + (4-1)d = -19 + 3(11) = -19 + 33 = 14 \]

Ответ: 14