4. Найди площадь четырёхугольника MNKP.

Решение:

Данный четырёхугольник MNKP можно разбить на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Для удобства, проведём перпендикуляры из точек M и N к основанию PK.

Верхнее основание MN = 3 см. Высота четырёхугольника = 4 см. Нижнее основание PK = 5 см.

Можно представить, что четырёхугольник состоит из прямоугольника (высота 4 см, ширина, например, x см) и двух прямоугольных треугольников по бокам. Либо, как на рисунке, одна сторона является высотой, а другая часть основания.

Разложим четырёхугольник на прямоугольник и прямоугольный треугольник:

1. Высота четырёхугольника (и высота прямоугольника) равна 4 см.
2. Одна сторона основания, которая является основанием прямоугольника, равна 3 см (верхнее основание MN).
3. Боковая сторона PK состоит из двух частей: одна равна 3 см (что соответствует ширине прямоугольника), а вторая часть основания равна 5 см - 3 см = 2 см.
4. Площадь прямоугольника: \( S_{прямоугольника} = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2 \)
5. Площадь оставшейся части (трапеции или прямоугольного треугольника, в зависимости от того, как рассматривать) — это прямоугольник с основанием 3 см и высотой 4 см, что даёт 12 см², и ещё один прямоугольник, у которого одна сторона 3 см, а другая 4 см.
6. По другому варианту, можно представить, что из точки M проведена вертикальная линия вниз, которая отсекает прямоугольник. Тогда верхнее основание MN = 3 см, и эта же длина является шириной этого прямоугольника. Высота этого прямоугольника — 4 см.
7. Оставшаяся часть PK = 5 см. От этого отнимаем 3 см (ширина прямоугольника) = 2 см.
8. Это означает, что мы имеем прямоугольник размером 3 см × 4 см и прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 4 см.
9. Площадь прямоугольника: \( S_{прямоугольника} = 3 \times 4 = 12 \text{ см}^2 \).
10. Площадь прямоугольного треугольника: \( S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \text{ см}^2 \).
11. Общая площадь четырёхугольника MNKP равна сумме площадей прямоугольника и треугольника: \( S_{MNKP} = 12 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2 \).
12. Другой способ: площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \times h \). В данном случае, верхнее основание \( a = 3 \text{ см} \). Нижнее основание \( b = 5 \text{ см} \). Высота \( h = 4 \text{ см} \).
13. \( S_{MNKP} = \frac{3 + 5}{2} \times 4 = \frac{8}{2} \times 4 = 4 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь четырёхугольника MNKP равна 16 см².