№4. На рисунке ∠AOC = ∠DOB, OM — биссектриса ∠AOB. Докажите, что OM — биссектриса угла ∠COD.

Так как лучи расположены в порядке OA, OC, OM, OD, OB, имеем:

\(\angle AOM=\angle AOC+\angle COM\),

\(\angle MOB=\angle MOD+\angle DOB\).

По условию \(OM\) — биссектриса угла \(AOB\), поэтому \(\angle AOM=\angle MOB\).

Также по условию \(\angle AOC=\angle DOB\). Подставим разложения углов:

\(\angle AOC+\angle COM=\angle MOD+\angle DOB\).

Вычитая из обеих частей равные углы \(\angle AOC\) и \(\angle DOB\), получаем:

\(\angle COM=\angle MOD\).

Следовательно, луч \(OM\) делит угол \(COD\) на два равных угла.

Ответ: OM — биссектриса угла \(COD\).