Контрольные задания
Вопрос:

4. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F такие, что AE = CF. Докажите, что ∠ACE = ∠CAF.

Фото задания: 4. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F такие, что AE = CF.…Фото задания

Ответ:

Задание 4: Равенство углов в равнобедренном треугольнике

Условие: На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F такие, что \( AE = CF \). Доказать, что \( \angle ACE = \angle CAF \).

Дано:

  • \( \triangle ABC \) — равнобедренный ( \( AB = BC \) ).
  • \( E \) на \( AB \), \( F \) на \( BC \).
  • \( AE = CF \).

Доказать: \( \angle ACE = \angle CAF \).

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \).
  2. \( \triangle ABC \) — равнобедренный, значит, \( \angle BAC = \angle BCA \).
  3. По условию \( AE = CF \).
  4. Нам нужно доказать равенство углов \( \angle ACE \) и \( \angle CAF \).
  5. Чтобы доказать равенство углов \( \angle ACE \) и \( \angle CAF \), можно попытаться доказать равенство треугольников \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \).
  6. Для \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \) мы имеем:
    • Сторона \( AC \) — общая.
    • \( AE = CF \) (по условию).
    • Углы, прилежащие к стороне \( AC \): \( \angle EAC \) (который равен \( \angle BAC \)) и \( \angle FCA \).
    • Углы, противолежащие сторонам \( AE \) и \( CF \) соответственно: \( \angle ACE \) и \( \angle CAF \).
  7. Если мы докажем равенство \( \triangle ACE = \triangle CAF \), то из этого будет следовать равенство углов \( \angle ACE = \angle CAF \).
  8. Попробуем доказать равенство \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \) по первому признаку (сторона и два прилежащих угла).
  9. У нас есть:
    • Общая сторона \( AC \).
    • \( AE = CF \) (по условию).
    • Угол \( \angle CAE = \angle ACF \)? Нет, мы знаем, что \( \angle BAC = \angle BCA \), а \( \angle CAE = \angle BAC \) и \( \angle FCA \) — это часть \( \angle BCA \).
  10. Давайте попробуем доказать равенство треугольников \( \triangle AEC \) и \( \triangle CFA \) (изменен порядок точек для удобства).
  11. \( AE = CF \) (по условию).
  12. \( AC \) — общая сторона.
  13. \( \angle EAC = \angle FBC \)? Нет, \( \angle EAC = \angle BAC \), а \( \angle FBC = \angle ABC \) (или \( \angle ABC \)).
  14. Но \( \triangle ABC \) равнобедренный, поэтому \( \angle BAC = \angle BCA \).
  15. Рассмотрим \( \triangle AEC \) и \( \triangle CFA \):
    • \( AE = CF \) (дано).
    • \( AC \) — общая сторона.
    • \( \angle CAE = \angle ACF \)? Нет.
    • \( \angle AEC = \angle CFA \)? Неизвестно.
  16. Попробуем иначе:
  17. Рассмотрим \( \triangle BCE \) и \( \triangle BAF \).
  18. \( BC = BA \) (так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
  19. \( AE = CF \) (дано).
  20. Тогда \( BE = AB - AE \) и \( BF = BC - CF \).
  21. Поскольку \( AB = BC \) и \( AE = CF \), то \( AB - AE = BC - CF \), следовательно, \( BE = BF \).
  22. Теперь рассмотрим \( \triangle BCE \) и \( \triangle BAF \):
    • \( BE = BF \) (доказано).
    • \( \beta = \beta \) (угол \( \beta \) — общий для обоих треугольников, \( \beta = \text{угол B} \)).
    • \( BC = BA \) (дано).
  23. Следовательно, \( \triangle BCE = \triangle BAF \) по первому признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона).
  24. Из равенства этих треугольников следует, что \( CE = AF \).
  25. Теперь вернемся к \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \):
    • \( AC \) — общая сторона.
    • \( CE = AF \) (доказано).
    • \( \text{Угол} \triangle ACE \text{ против } AE = \text{угол} \triangle CAF \text{ против } CF \)
    • \( \angle CAE = \angle ACF \)? Нет.
    • \( \angle ACE = \angle CAF \) (то, что нужно доказать).
  26. Рассмотрим \( \triangle ABC \) снова.
  27. \( AB = BC \) (дано).
  28. \( AE = CF \) (дано).
  29. \( E \) лежит на \( AB \), \( F \) лежит на \( BC \).
  30. Рассмотрим \( \triangle AEC \) и \( \triangle CFA \):
    • \( AE = CF \) (дано).
    • \( AC \) — общая сторона.
    • \( \angle CAE = \angle ACF \)? Нет.
    • Попробуем по трем сторонам:
    • \( AE = CF \).
    • \( EC \) и \( FA \) — неизвестны.
    • \( AC \) — общая.
    • Докажем равенство \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \) по первому признаку (сторона-угол-сторона):
    • \( AC \) — общая сторона.
    • \( \angle BAC = \angle BCA \) (так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
    • \( AE = CF \) (дано).
    • ВАЖНО: мы не можем использовать \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \) напрямую для доказательства равенства углов \( \boldsymbol{\angle ACE = \boldsymbol{\angle CAF}} \) с помощью первого признака (SAS), так как угол между сторонами \( AC \) и \( AE \) — это \( \boldsymbol{\angle CAE} \), а угол между \( AC \) и \( CF \) — это \( \boldsymbol{\angle ACF} \). Нам нужно доказать \( \boldsymbol{\angle ACE = \boldsymbol{\angle CAF}} \).
    • Переформулируем:
    • Пусть \( AB = BC = a \).
    • Пусть \( AE = CF = b \).
    • Тогда \( BE = a - b \) и \( BF = a - b \).
    • Следовательно, \( BE = BF \).
    • Рассмотрим \( \triangle BCE \) и \( \triangle BAF \):
      • \( BE = BF \) (доказано).
      • \( \boldsymbol{\angle B} \) — общий угол.
      • \( BC = BA \) (дано).
    • Следовательно, \( \triangle BCE = \triangle BAF \) по первому признаку равенства треугольников (SAS).
    • Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \( CE = AF \).
    • Теперь рассмотрим \( \triangle ACE \) и \( \triangle CAF \):
      • \( AC \) — общая сторона.
      • \( AE = CF \) (дано).
      • \( CE = AF \) (доказано).
    • Следовательно, \( \triangle ACE = \triangle CAF \) по третьему признаку равенства треугольников (SSS).
    • Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны: \( \angle ACE = \angle CAF \).

Вывод: Углы ACE и CAF равны.