4. Можно ли обойти все рёбра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Решение:

Задача сводится к поиску Эйлерова пути или Эйлерова цикла в графе, вершинами которого являются вершины куба, а рёбра графа соответствуют рёбрам куба.

У куба 8 вершин. Каждая вершина куба имеет степень 3 (из каждой вершины выходит 3 ребра).

Для существования Эйлерова цикла (пути, который начинается и заканчивается в одной вершине, проходя по всем рёбрам ровно один раз) необходимо, чтобы все вершины имели чётную степень.

Для существования Эйлерова пути (пути, который начинается и заканчивается в разных вершинах, проходя по всем рёбрам ровно один раз) необходимо, чтобы было ровно две вершины с нечётной степенью.

В кубе все 8 вершин имеют степень 3 (нечётная степень).

Так как у куба 8 вершин с нечётной степенью, то ни Эйлерова пути, ни Эйлерова цикла не существует.

Ответ: Нет, нельзя обойти все рёбра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз.